Theorem ioof 8994

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	|- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 8931	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		ioossre 8958	. . . . 5 |- ( x (,) y ) C_ RR
3		df-ov 5535	. . . . . . 7 |- ( x (,) y ) = ( (,) ` <. x , y >. )
4		iooex 8930	. . . . . . . 8 |- (,) e. _V
5		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
6		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
7	5, 6	opex 3984	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. e. _V
8	4, 7	fvex 5215	. . . . . . 7 |- ( (,) ` <. x , y >. ) e. _V
9	3, 8	eqeltri 2151	. . . . . 6 |- ( x (,) y ) e. _V
10	9	elpw 3388	. . . . 5 |- ( ( x (,) y ) e. ~P RR <-> ( x (,) y ) C_ RR )
11	2, 10	mpbir 144	. . . 4 |- ( x (,) y ) e. ~P RR
12	1, 11	syl6eqelr 2170	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR )
13	12	rgen2a 2417	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR
14		df-ioo 8915	. . 3 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
15	14	fmpt2 5847	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR <-> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
16	13, 15	mpbi 143	1 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Syntax hints:   /\ wa 102   e. wcel 1433   A.wral 2348   {crab 2352   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   ~Pcpw 3382   <.cop 3401   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   -->wf 4918   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   RR*cxr 7152   < clt 7153   (,)cioo 8911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-ioo 8915

This theorem is referenced by:  unirnioo  8996  dfioo2  8997  ioorebasg  8998