Theorem fnasrn 5362

Description: A function expressed as the range of another function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfmpt.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fnasrn	|- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

Proof of Theorem fnasrn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	dfmpt 5361	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
3		eqid 2081	. . . . 5 |- ( x e. A |-> <. x , B >. ) = ( x e. A |-> <. x , B >. )
4	3	rnmpt 4600	. . . 4 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
5		velsn 3415	. . . . . 6 |- ( y e. { <. x , B >. } <-> y = <. x , B >. )
6	5	rexbii 2373	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. { <. x , B >. } <-> E. x e. A y = <. x , B >. )
7	6	abbii 2194	. . . 4 |- { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } } = { y | E. x e. A y = <. x , B >. }
8	4, 7	eqtr4i 2104	. . 3 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
9		df-iun 3680	. . 3 |- U_ x e. A { <. x , B >. } = { y | E. x e. A y e. { <. x , B >. } }
10	8, 9	eqtr4i 2104	. 2 |- ran ( x e. A |-> <. x , B >. ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
11	2, 10	eqtr4i 2104	1 |- ( x e. A |-> B ) = ran ( x e. A |-> <. x , B >. )

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   {csn 3398   <.cop 3401   U_ciun 3678   |-> cmpt 3839   ran crn 4364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by:  idref  5417