Theorem frind 4107

Description: Induction over a well-founded set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frind.sb	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
frind.ind	|- ( ( ch /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( y R x -> ps ) -> ph ) )
frind.fr	|- ( ch -> R Fr A )
frind.a	|- ( ch -> A e. V )

Assertion

Ref	Expression
frind	|- ( ( ch /\ x e. A ) -> ph )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ch, x   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   V( x, y)

Proof of Theorem frind

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frind.ind	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( y R x -> ps ) -> ph ) )
2	1	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 |- ( ch -> A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> ps ) -> ph ) )
3		nfv 1461	. . . . . . . 8 |- F/ z ( A. y e. A ( y R x -> ps ) -> ph )
4		nfv 1461	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. A ( y R z -> ps )
5		nfs1v 1856	. . . . . . . . 9 |- F/ x [ z / x ] ph
6	4, 5	nfim 1504	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. y e. A ( y R z -> ps ) -> [ z / x ] ph )
7		breq2 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( y R x <-> y R z ) )
8	7	imbi1d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( y R x -> ps ) <-> ( y R z -> ps ) ) )
9	8	ralbidv 2368	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( A. y e. A ( y R x -> ps ) <-> A. y e. A ( y R z -> ps ) ) )
10		sbequ12 1694	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [ z / x ] ph ) )
11	9, 10	imbi12d 232	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( A. y e. A ( y R x -> ps ) -> ph ) <-> ( A. y e. A ( y R z -> ps ) -> [ z / x ] ph ) ) )
12	3, 6, 11	cbvral 2573	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( y R x -> ps ) -> ph ) <-> A. z e. A ( A. y e. A ( y R z -> ps ) -> [ z / x ] ph ) )
13	2, 12	sylib 120	. . . . . 6 |- ( ch -> A. z e. A ( A. y e. A ( y R z -> ps ) -> [ z / x ] ph ) )
14		frind.sb	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
15	14	elrab3 2750	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( y e. { x e. A | ph } <-> ps ) )
16	15	imbi2d 228	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) <-> ( y R z -> ps ) ) )
17	16	ralbiia 2380	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) <-> A. y e. A ( y R z -> ps ) )
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( A. y e. A ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) <-> A. y e. A ( y R z -> ps ) ) )
19		nfcv 2219	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x z
20		nfcv 2219	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x A
21	19, 20, 5, 10	elrabf 2747	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. A | ph } <-> ( z e. A /\ [ z / x ] ph ) )
22	21	baib 861	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( z e. { x e. A | ph } <-> [ z / x ] ph ) )
23	18, 22	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( ( A. y e. A ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) -> z e. { x e. A | ph } ) <-> ( A. y e. A ( y R z -> ps ) -> [ z / x ] ph ) ) )
24	23	ralbiia 2380	. . . . . 6 |- ( A. z e. A ( A. y e. A ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) -> z e. { x e. A | ph } ) <-> A. z e. A ( A. y e. A ( y R z -> ps ) -> [ z / x ] ph ) )
25	13, 24	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ch -> A. z e. A ( A. y e. A ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) -> z e. { x e. A | ph } ) )
26		frind.fr	. . . . . . . 8 |- ( ch -> R Fr A )
27		df-frind 4087	. . . . . . . 8 |- ( R Fr A <-> A. sFrFor R A s )
28	26, 27	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ch -> A. sFrFor R A s )
29		frind.a	. . . . . . . 8 |- ( ch -> A e. V )
30		rabexg 3921	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> { x e. A | ph } e. _V )
31		frforeq3 4102	. . . . . . . . 9 |- ( s = { x e. A | ph } -> (FrFor R A s <-> FrFor R A { x e. A | ph } ) )
32	31	spcgv 2685	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | ph } e. _V -> ( A. sFrFor R A s -> FrFor R A { x e. A | ph } ) )
33	29, 30, 32	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( A. sFrFor R A s -> FrFor R A { x e. A | ph } ) )
34	28, 33	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ch -> FrFor R A { x e. A | ph } )
35		df-frfor 4086	. . . . . 6 |- (FrFor R A { x e. A | ph } <-> ( A. z e. A ( A. y e. A ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) -> z e. { x e. A | ph } ) -> A C_ { x e. A | ph } ) )
36	34, 35	sylib 120	. . . . 5 |- ( ch -> ( A. z e. A ( A. y e. A ( y R z -> y e. { x e. A | ph } ) -> z e. { x e. A | ph } ) -> A C_ { x e. A | ph } ) )
37	25, 36	mpd 13	. . . 4 |- ( ch -> A C_ { x e. A | ph } )
38		ssrab 3072	. . . 4 |- ( A C_ { x e. A | ph } <-> ( A C_ A /\ A. x e. A ph ) )
39	37, 38	sylib 120	. . 3 |- ( ch -> ( A C_ A /\ A. x e. A ph ) )
40	39	simprd 112	. 2 |- ( ch -> A. x e. A ph )
41	40	r19.21bi 2449	1 |- ( ( ch /\ x e. A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   [wsb 1685   A.wral 2348   {crab 2352   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   class class class wbr 3785  FrFor wfrfor 4082   Fr wfr 4083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-frfor 4086  df-frind 4087

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