Theorem funbrfv2b 5239

Description: Function value in terms of a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfv2b	|- ( Fun F -> ( A F B <-> ( A e. dom F /\ ( F ` A ) = B ) ) )

Proof of Theorem funbrfv2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4939	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
2		releldm 4587	. . . . 5 |- ( ( Rel F /\ A F B ) -> A e. dom F )
3	2	ex 113	. . . 4 |- ( Rel F -> ( A F B -> A e. dom F ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( Fun F -> ( A F B -> A e. dom F ) )
5	4	pm4.71rd 386	. 2 |- ( Fun F -> ( A F B <-> ( A e. dom F /\ A F B ) ) )
6		funbrfvb 5237	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )
7	6	pm5.32da 439	. 2 |- ( Fun F -> ( ( A e. dom F /\ ( F ` A ) = B ) <-> ( A e. dom F /\ A F B ) ) )
8	5, 7	bitr4d 189	1 |- ( Fun F -> ( A F B <-> ( A e. dom F /\ ( F ` A ) = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  brtpos2  5889  xpcomco  6323