Theorem funssres 4962

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Proof of Theorem funssres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2993	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> <. x , y >. e. F ) )
2		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
3		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
4	2, 3	opeldm 4556	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G ) )
6	1, 5	jcad 301	. . . . . 6 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
7	6	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
8		funeu2 4947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) -> E! y <. x , y >. e. F )
9	2	eldm2 4551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom G <-> E. y <. x , y >. e. G )
10	1	ancrd 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
11	10	eximdv 1801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G C_ F -> ( E. y <. x , y >. e. G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
12	9, 11	syl5bi 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G C_ F -> ( x e. dom G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
13	12	imp 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G C_ F /\ x e. dom G ) -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) )
14		eupick 2020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E! y <. x , y >. e. F /\ E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
15	8, 13, 14	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) /\ ( G C_ F /\ x e. dom G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
16	15	exp43 364	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. e. F -> ( G C_ F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
17	16	com23 77	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
18	17	imp 122	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
19	18	com34 82	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
20	19	pm2.43d 49	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) )
21	20	impd 251	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) -> <. x , y >. e. G ) )
22	7, 21	impbid 127	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
23	3	opelres 4635	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) )
24	22, 23	syl6rbbr 197	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
25	24	alrimivv 1796	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
26		relres 4657	. . 3 |- Rel ( F |` dom G )
27		funrel 4939	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
28		relss 4445	. . . 4 |- ( G C_ F -> ( Rel F -> Rel G ) )
29	27, 28	mpan9 275	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> Rel G )
30		eqrel 4447	. . 3 |- ( ( Rel ( F |` dom G ) /\ Rel G ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
31	26, 29, 30	sylancr 405	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
32	25, 31	mpbird 165	1 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   C_ wss 2973   <.cop 3401   dom cdm 4363   |` cres 4365   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-res 4375  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  fun2ssres  4963  funcnvres  4992  funssfv  5220  oprssov  5662