Theorem eqrel 4447

Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eqrel	|- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 4446	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
2		ssrel 4446	. . 3 |- ( Rel B -> ( B C_ A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
3	1, 2	bi2anan9 570	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) ) )
4		eqss 3014	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		2albiim 1417	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 221	1 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   C_ wss 2973   <.cop 3401   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370

This theorem is referenced by:  eqrelriv  4451  eqrelrdv  4454  eqbrrdv  4455  eqrelrdv2  4457  opabid2  4485  reldm0  4571  iss  4674  asymref  4730  funssres  4962  fsn  5356