Theorem ge0gtmnf 8890

Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0gtmnf	|- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Proof of Theorem ge0gtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 8859	. 2 |- -oo < 0
2		mnfxr 8848	. . . 4 |- -oo e. RR*
3		0xr 7165	. . . 4 |- 0 e. RR*
4		xrltletr 8877	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1258	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) -> -oo < A ) )
6	5	imp 122	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( -oo < 0 /\ 0 <_ A ) ) -> -oo < A )
7	1, 6	mpanr1 427	1 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> -oo < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   0cc0 6981   -oocmnf 7151   RR*cxr 7152   < clt 7153   <_ cle 7154

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159

This theorem is referenced by:  ge0nemnf  8891  xrrege0  8892