Theorem imaco 4846

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imaco	|- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Proof of Theorem imaco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2354	. . 3 |- ( E. y e. ( B " C ) y A x <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
2		vex 2604	. . . 4 |- x e. _V
3	2	elima 4693	. . 3 |- ( x e. ( A " ( B " C ) ) <-> E. y e. ( B " C ) y A x )
4		rexcom4 2622	. . . . 5 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) )
5		r19.41v 2510	. . . . . 6 |- ( E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
6	5	exbii 1536	. . . . 5 |- ( E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
7	4, 6	bitri 182	. . . 4 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
8	2	elima 4693	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C z ( A o. B ) x )
9		vex 2604	. . . . . . 7 |- z e. _V
10	9, 2	brco 4524	. . . . . 6 |- ( z ( A o. B ) x <-> E. y ( z B y /\ y A x ) )
11	10	rexbii 2373	. . . . 5 |- ( E. z e. C z ( A o. B ) x <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
12	8, 11	bitri 182	. . . 4 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
13		vex 2604	. . . . . . 7 |- y e. _V
14	13	elima 4693	. . . . . 6 |- ( y e. ( B " C ) <-> E. z e. C z B y )
15	14	anbi1i 445	. . . . 5 |- ( ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
16	15	exbii 1536	. . . 4 |- ( E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
17	7, 12, 16	3bitr4i 210	. . 3 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
18	1, 3, 17	3bitr4ri 211	. 2 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> x e. ( A " ( B " C ) ) )
19	18	eqriv 2078	1 |- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785   "cima 4366   o. ccom 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376

This theorem is referenced by:  fvco2  5263