Theorem ioomax 8971

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	|- ( -oo (,) +oo ) = RR

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8848	. . 3 |- -oo e. RR*
2		pnfxr 8846	. . 3 |- +oo e. RR*
3		iooval2 8938	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } )
4	1, 2, 3	mp2an 416	. 2 |- ( -oo (,) +oo ) = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
5		rabid2 2530	. . 3 |- ( RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) } <-> A. x e. RR ( -oo < x /\ x < +oo ) )
6		mnflt 8858	. . . 4 |- ( x e. RR -> -oo < x )
7		ltpnf 8856	. . . 4 |- ( x e. RR -> x < +oo )
8	6, 7	jca 300	. . 3 |- ( x e. RR -> ( -oo < x /\ x < +oo ) )
9	5, 8	mprgbir 2421	. 2 |- RR = { x e. RR | ( -oo < x /\ x < +oo ) }
10	4, 9	eqtr4i 2104	1 |- ( -oo (,) +oo ) = RR

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {crab 2352   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   +oocpnf 7150   -oocmnf 7151   RR*cxr 7152   < clt 7153   (,)cioo 8911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-ioo 8915

This theorem is referenced by:  unirnioo  8996