Theorem pnfxr 8846

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3136	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 7155	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 7097	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4192	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 3953	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2151	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3498	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 2996	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 7157	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2154	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   u. cun 2971   ~Pcpw 3382   {cpr 3399   U.cuni 3601   CCcc 6979   RRcr 6980   +oocpnf 7150   -oocmnf 7151   RR*cxr 7152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-un 4188  ax-cnex 7067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-pnf 7155  df-xr 7157

This theorem is referenced by:  pnfex  8847  pnfnemnf  8851  xrltnr  8855  ltpnf  8856  mnfltpnf  8860  pnfnlt  8862  pnfge  8864  xrlttri3  8872  nltpnft  8884  xrrebnd  8886  xrre  8887  xrre2  8888  xnegcl  8899  xrex  8910  elioc2  8959  elico2  8960  elicc2  8961  ioomax  8971  iccmax  8972  ioopos  8973  elioopnf  8990  elicopnf  8992  unirnioo  8996  elxrge0  9001  rexico  10107