Theorem iseqshft2 9452

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
iseqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
iseqshft2.s	|- ( ph -> S e. V )
iseqshft2.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqshft2.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqshft2.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqshft2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   k, F, x   y, F   k, G, x   y, G   k, K, x   y, K   k, M, x   y, M   k, N, x   y, N   x, S, y   ph, k, x   ph, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   S( k)   V( x, y, k)

Proof of Theorem iseqshft2

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9051	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( w e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
6		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( w + K ) = ( M + K ) )
7	6	fveq2d 5202	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( w e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
13		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( w = n -> ( w + K ) = ( n + K ) )
14	13	fveq2d 5202	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = n -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( w e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
20		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( w + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
21	20	fveq2d 5202	. . . . . . 7 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( w e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
27		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( w + K ) = ( N + K ) )
28	27	fveq2d 5202	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 228	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
32		eluzfz1 9050	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
33	1, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
34		iseqshft2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
35	34	ralrimiva 2434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
36		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
37		oveq1 5539	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> ( k + K ) = ( M + K ) )
38	37	fveq2d 5202	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2095	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
40	39	rspcv 2697	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
41	33, 35, 40	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
42		eluzel2 8624	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43	1, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
44		iseqshft2.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. V )
45		iseqshft2.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
46		iseqshft2.pl	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
47	43, 44, 45, 46	iseq1 9442	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
48		iseqshft2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
49	43, 48	zaddcld 8473	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
50		iseqshft2.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
51	49, 44, 50, 46	iseq1 9442	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
52	41, 47, 51	3eqtr4d 2123	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) )
53	52	a1d 22	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) )
54	53	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) )
55		peano2fzr 9056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
56	55	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
57	56	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
58	57	imim1d 74	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) )
59		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60		simprl 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
61	44	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> S e. V )
62	45	adantlr 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
63	46	adantlr 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
64	60, 61, 62, 63	iseqp1 9445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
65	48	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
66		eluzadd 8647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
67	60, 65, 66	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
68	50	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
69	67, 61, 68, 63	iseqp1 9445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
70		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
71	60, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
72		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
73		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
74		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
75		add32 7267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
76	74, 75	mp3an2 1256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
77	72, 73, 76	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
78	71, 65, 77	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
79	78	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
80		simprr 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
81	35	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
82		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
83		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
84	83	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
85	82, 84	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
86	85	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
87	80, 81, 86	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
88	78	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
89	87, 88	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
90	89	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
91	69, 79, 90	3eqtr4d 2123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
92	64, 91	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
93	59, 92	syl5ibr 154	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
94	93	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
95	94	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
96	58, 95	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
97	96	expcom 114	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
98	97	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
99	10, 17, 24, 31, 54, 98	uzind4 8676	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) )
100	1, 99	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) )
101	3, 100	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-iseq 9432

This theorem is referenced by: (None)