Theorem iseqval 9440

Description: Value of the sequence builder function. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqval.1	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
iseqval.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqval.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqval	|- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran R )

Distinct variable groups:   w, F, x, y, z   w, .+ , x, y, z   w, M, x, y, z   w, S, x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   R( x, y, z, w)

Proof of Theorem iseqval

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqval.1	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2		simprl 497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
3		simprr 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> y e. S )
4		iseqval.pl	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
5	4	caovclg 5673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
6	5	adantlr 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
7		iseqval.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8	7	ralrimiva 2434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
9		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
10	9	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` y ) e. S ) )
11	10	cbvralv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S <-> A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S )
12	8, 11	sylib 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S )
13	12	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S )
14		peano2uz 8671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
15		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
16	15	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( F ` y ) e. S <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
17	16	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
19	18	ad2antrl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
20	13, 19	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S )
21	6, 3, 20	caovcld 5674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. S )
22		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( z + 1 ) = ( x + 1 ) )
23	22	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
24	23	oveq2d 5548	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
25		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
26		eqid 2081	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
27	24, 25, 26	ovmpt2g 5655	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S /\ ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. S ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
28	2, 3, 21, 27	syl3anc 1169	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
29	28	3impb 1134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
30	29	opeq2d 3577	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. )
31	30	mpt2eq3dva 5589	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) )
32		freceq1 6002	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
33	31, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
34	1, 33	syl5eq 2125	. . 3 |- ( ph -> R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
35	34	rneqd 4581	. 2 |- ( ph -> ran R = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
36		df-iseq 9432	. 2 |- seq M ( .+ , F , S ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
37	35, 36	syl6reqr 2132	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   <.cop 3401   ran crn 4364   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534  freccfrec 6000   1c1 6982   + caddc 6984   ZZ>=cuz 8619   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseqfn  9441  iseq1  9442  iseqcl  9443  iseqp1  9445