Theorem iseqcl 9443

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcl.ex	|- ( ph -> S e. V )
iseqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqcl	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem iseqcl

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcl.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 8624	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		eqid 2081	. . 3 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
5		iseqcl.ex	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
6		uzid 8633	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7	3, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8		iseqcl.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
9	8	ralrimiva 2434	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
10		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
11	10	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
12	11	rspcv 2697	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` M ) e. S ) )
13	7, 9, 12	sylc 61	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
14		iseqcl.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
15	8, 14	iseqovex 9439	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
16		eqid 2081	. . 3 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
17	16, 8, 14	iseqval 9440	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
18	3, 4, 5, 13, 15, 16, 17	frecuzrdgcl 9415	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )
19	1, 18	mpdan 412	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   <.cop 3401   |-> cmpt 3839   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534  freccfrec 6000   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseqf  9444  iseqp1  9445  isermono  9457  iseqsplit  9458  iseqcaopr2  9461  iseqid3  9465  iseqhomo  9468  iseqz  9469  iseqdistr  9470  serige0  9473  serile  9474  expivallem  9477  expival  9478  ibcval5  9690  ialgrp1  10428