Theorem isose 5480

Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isose	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Proof of Theorem isose

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
2		isof1o 5467	. . . 4 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1ofun 5148	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> Fun H )
4		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
5	4	funimaex 5004	. . . 4 |- ( Fun H -> ( H " x ) e. _V )
6	2, 3, 5	3syl 17	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H " x ) e. _V )
7	1, 6	isoselem 5479	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A -> S Se B ) )
8		isocnv 5471	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )
9		isof1o 5467	. . . 4 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
10		f1ofun 5148	. . . 4 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> Fun `' H )
11	4	funimaex 5004	. . . 4 |- ( Fun `' H -> ( `' H " x ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	4syl 18	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( `' H " x ) e. _V )
13	8, 12	isoselem 5479	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Se B -> R Se A ) )
14	7, 13	impbid 127	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   Se wse 4084   `'ccnv 4362   "cima 4366   Fun wfun 4916   -1-1-onto->wf1o 4921   Isom wiso 4923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-se 4088  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-isom 4931

This theorem is referenced by: (None)