Theorem isose 5480

Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isose	⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴 ↔ 𝑆 Se 𝐵))

Proof of Theorem isose

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		isof1o 5467	. . . 4 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		f1ofun 5148	. . . 4 ⊢ (𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Fun 𝐻)
4		vex 2604	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	funimaex 5004	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐻 → (𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
6	2, 3, 5	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
7	1, 6	isoselem 5479	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑆 Se 𝐵))
8		isocnv 5471	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
9		isof1o 5467	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → ◡𝐻:𝐵–1-1-onto→𝐴)
10		f1ofun 5148	. . . 4 ⊢ (◡𝐻:𝐵–1-1-onto→𝐴 → Fun ◡𝐻)
11	4	funimaex 5004	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝐻 → (◡𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
12	8, 9, 10, 11	4syl 18	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (◡𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
13	8, 12	isoselem 5479	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Se 𝐵 → 𝑅 Se 𝐴))
14	7, 13	impbid 127	1 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴 ↔ 𝑆 Se 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   Se wse 4084  ^◡ccnv 4362   “ cima 4366  Fun wfun 4916  –1-1-onto→wf1o 4921   Isom wiso 4923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-se 4088  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-isom 4931

This theorem is referenced by: (None)