Theorem isocnv 5471

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Proof of Theorem isocnv

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5159	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B -1-1-onto-> A )
2	1	adantr 270	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
3		f1ocnvfv2 5438	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
4	3	adantrr 462	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
5		f1ocnvfv2 5438	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. B ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
6	5	adantrl 461	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
7	4, 6	breq12d 3798	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
8	7	adantlr 460	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
9		f1of 5146	. . . . . . 7 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> `' H : B --> A )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B --> A )
11		ffvelrn 5321	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ z e. B ) -> ( `' H ` z ) e. A )
12		ffvelrn 5321	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ w e. B ) -> ( `' H ` w ) e. A )
13	11, 12	anim12dan 564	. . . . . . . 8 |- ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) )
14		breq1 3788	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( x R y <-> ( `' H ` z ) R y ) )
15		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( `' H ` z ) ) )
16	15	breq1d 3795	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) )
17	14, 16	bibi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) ) )
18		bicom 138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) )
19	17, 18	syl6bb 194	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) ) )
20		fveq2 5198	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( `' H ` w ) ) )
21	20	breq2d 3797	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) ) )
22		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
23	21, 22	bibi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
24	19, 23	rspc2va 2714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
25	13, 24	sylan 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
26	25	an32s 532	. . . . . 6 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
27	10, 26	sylanl1 394	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
28	8, 27	bitr3d 188	. . . 4 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
29	28	ralrimivva 2443	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
30	2, 29	jca 300	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
31		df-isom 4931	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
32		df-isom 4931	. 2 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) <-> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
33	30, 31, 32	3imtr4i 199	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362   -->wf 4918   -1-1-onto->wf1o 4921   ` cfv 4922   Isom wiso 4923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-isom 4931

This theorem is referenced by:  isores1  5474  isose  5480  isopo  5482  isoso  5484  isoti  6420  infrenegsupex  8682