Theorem iunpw 4229

Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem iunpw

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3021	. . . . . . . 8 |- ( x = U. A -> ( y C_ x <-> y C_ U. A ) )
2	1	biimprcd 158	. . . . . . 7 |- ( y C_ U. A -> ( x = U. A -> y C_ x ) )
3	2	reximdv 2462	. . . . . 6 |- ( y C_ U. A -> ( E. x e. A x = U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
4	3	com12 30	. . . . 5 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
5		ssiun 3720	. . . . . 6 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U_ x e. A x )
6		uniiun 3731	. . . . . 6 |- U. A = U_ x e. A x
7	5, 6	syl6sseqr 3046	. . . . 5 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U. A )
8	4, 7	impbid1 140	. . . 4 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A <-> E. x e. A y C_ x ) )
9		vex 2604	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	elpw 3388	. . . 4 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
11		eliun 3682	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y e. ~P x )
12		df-pw 3384	. . . . . . 7 |- ~P x = { y | y C_ x }
13	12	abeq2i 2189	. . . . . 6 |- ( y e. ~P x <-> y C_ x )
14	13	rexbii 2373	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
15	11, 14	bitri 182	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
16	8, 10, 15	3bitr4g 221	. . 3 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y e. ~P U. A <-> y e. U_ x e. A ~P x ) )
17	16	eqrdv 2079	. 2 |- ( E. x e. A x = U. A -> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )
18		ssid 3018	. . . . 5 |- U. A C_ U. A
19		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
20	19	uniex 4192	. . . . . . 7 |- U. A e. _V
21	20	elpw 3388	. . . . . 6 |- ( U. A e. ~P U. A <-> U. A C_ U. A )
22		eleq2 2142	. . . . . 6 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A e. ~P U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
23	21, 22	syl5bbr 192	. . . . 5 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A C_ U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
24	18, 23	mpbii 146	. . . 4 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> U. A e. U_ x e. A ~P x )
25		eliun 3682	. . . 4 |- ( U. A e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A U. A e. ~P x )
26	24, 25	sylib 120	. . 3 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A U. A e. ~P x )
27		elssuni 3629	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
28		elpwi 3391	. . . . . . 7 |- ( U. A e. ~P x -> U. A C_ x )
29	27, 28	anim12i 331	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
30		eqss 3014	. . . . . 6 |- ( x = U. A <-> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
31	29, 30	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> x = U. A )
32	31	ex 113	. . . 4 |- ( x e. A -> ( U. A e. ~P x -> x = U. A ) )
33	32	reximia 2456	. . 3 |- ( E. x e. A U. A e. ~P x -> E. x e. A x = U. A )
34	26, 33	syl 14	. 2 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A x = U. A )
35	17, 34	impbii 124	1 |- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   ~Pcpw 3382   U.cuni 3601   U_ciun 3678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-uni 3602  df-iun 3680

This theorem is referenced by: (None)