Theorem eqss 3014

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	|- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Proof of Theorem eqss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1416	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
2		dfcleq 2075	. 2 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
3		dfss2 2988	. . 3 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4		dfss2 2988	. . 3 |- ( B C_ A <-> A. x ( x e. B -> x e. A ) )
5	3, 4	anbi12i 447	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 210	1 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   C_ wss 2973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-11 1437  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-in 2979  df-ss 2986

This theorem is referenced by:  eqssi  3015  eqssd  3016  sseq1  3020  sseq2  3021  eqimss  3051  ssrabeq  3080  uneqin  3215  ss0b  3283  vss  3291  sssnm  3546  unidif  3633  ssunieq  3634  iuneq1  3691  iuneq2  3694  iunxdif2  3726  ssext  3976  pweqb  3978  eqopab2b  4034  pwunim  4041  soeq2  4071  iunpw  4229  ordunisuc2r  4258  tfi  4323  eqrel  4447  eqrelrel  4459  coeq1  4511  coeq2  4512  cnveq  4527  dmeq  4553  relssres  4666  xp11m  4779  xpcanm  4780  xpcan2m  4781  ssrnres  4783  fnres  5035  eqfnfv3  5288  fneqeql2  5297  fconst4m  5402  f1imaeq  5435  eqoprab2b  5583  fo1stresm  5808  fo2ndresm  5809  nnacan  6108  nnmcan  6115  isprm2  10499  bj-sseq  10602  bdeq0  10658  bdvsn  10665  bdop  10666  bdeqsuc  10672  bj-om  10732