Theorem ltnqex 6739

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 6553	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 6555	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4410	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 110	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3069	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 3916	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1433   {cab 2067   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   Q.cnq 6470   <Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-qs 6135  df-ni 6494  df-nqqs 6538  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  nqprl  6741  nqpru  6742  1prl  6745  1pru  6746  addnqprlemrl  6747  addnqprlemru  6748  addnqprlemfl  6749  addnqprlemfu  6750  mulnqprlemrl  6763  mulnqprlemru  6764  mulnqprlemfl  6765  mulnqprlemfu  6766  ltnqpr  6783  ltnqpri  6784  archpr  6833  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlemladdfl  6845  cauappcvgprlem2  6850  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlem2  6870  caucvgprprlemopu  6889