Theorem brel 4410

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	|- R C_ ( C X. D )

Assertion

Ref	Expression
brel	|- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 |- R C_ ( C X. D )
2	1	ssbri 3827	. 2 |- ( A R B -> A ( C X. D ) B )
3		brxp 4393	. 2 |- ( A ( C X. D ) B <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
4	2, 3	sylib 120	1 |- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   X. cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  brab2a  4411  brab2ga  4433  soirri  4739  sotri  4740  sotri2  4742  sotri3  4743  swoer  6157  ecopovsym  6225  ecopovtrn  6226  ecopovsymg  6228  ecopovtrng  6229  ltanqi  6592  ltmnqi  6593  ltexnqi  6599  ltbtwnnqq  6605  ltbtwnnq  6606  ltrnqi  6611  prcdnql  6674  prcunqu  6675  prnmaxl  6678  prnminu  6679  prloc  6681  prarloclemcalc  6692  genplt2i  6700  genpcdl  6709  genpcuu  6710  addnqprllem  6717  addnqprulem  6718  addlocprlemlt  6721  addlocprlemeq  6723  addlocprlemgt  6724  addlocprlem  6725  nqprxx  6736  ltnqex  6739  gtnqex  6740  addnqprlemrl  6747  addnqprlemru  6748  addnqprlemfl  6749  addnqprlemfu  6750  appdivnq  6753  prmuloclemcalc  6755  prmuloc  6756  mulnqprlemrl  6763  mulnqprlemru  6764  mulnqprlemfl  6765  mulnqprlemfu  6766  ltprordil  6779  1idprl  6780  1idpru  6781  ltnqpri  6784  ltexprlemm  6790  ltexprlemopl  6791  ltexprlemlol  6792  ltexprlemopu  6793  ltexprlemupu  6794  ltexprlemdisj  6796  ltexprlemloc  6797  ltexprlemfl  6799  ltexprlemrl  6800  ltexprlemfu  6801  ltexprlemru  6802  ltexpri  6803  lteupri  6807  ltaprlem  6808  recexprlemell  6812  recexprlemelu  6813  recexprlemloc  6821  recexprlempr  6822  recexprlem1ssl  6823  recexprlem1ssu  6824  recexprlemss1l  6825  recexprlemss1u  6826  cauappcvgprlemm  6835  cauappcvgprlemlol  6837  cauappcvgprlemupu  6839  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlemladdfl  6845  caucvgprlemk  6855  caucvgprlemm  6858  caucvgprlemlol  6860  caucvgprlemupu  6862  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlem1  6869  caucvgprlem2  6870  caucvgprprlemk  6873  caucvgprprlemloccalc  6874  caucvgprprlemval  6878  caucvgprprlemml  6884  caucvgprprlemlol  6888  caucvgprprlemupu  6890  caucvgprprlemloc  6893  caucvgprprlem1  6899  caucvgprprlem2  6900  gt0srpr  6925  recexgt0sr  6950  addgt0sr  6952  mulgt0sr  6954  caucvgsrlemasr  6966  ltresr  7007  ltrenn  7023  dvdszrcl  10200