Theorem mo3h 1994

Description: Alternate definition of "at most one." Definition of [BellMachover] p. 460, except that definition has the side condition that y not occur in ph in place of our hypothesis. (Contributed by NM, 8-Mar-1995.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
mo3h.1	|- ( ph -> A. y ph )

Assertion

Ref	Expression
mo3h	|- ( E* x ph <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mo3h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mo3h.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ph )
2	1	nfi 1391	. . . . . 6 |- F/ y ph
3	2	eu2 1985	. . . . 5 |- ( E! x ph <-> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
4	3	imbi2i 224	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> E! x ph ) <-> ( E. x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
5		df-mo 1945	. . . 4 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> E! x ph ) )
6		anclb 312	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( E. x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
7	4, 5, 6	3bitr4i 210	. . 3 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
8		19.38 1606	. . . . 5 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
9	2	19.21 1515	. . . . . 6 |- ( A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
10	9	albii 1399	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> A. x ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
11	8, 10	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
12		anabs5 537	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ph /\ [ y / x ] ph ) )
13		pm3.31 258	. . . . . 6 |- ( ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> ( ( ph /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
14	12, 13	syl5bir 151	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
15	14	2alimi 1385	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
16	11, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
17	7, 16	sylbi 119	. 2 |- ( E* x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
18	3	simplbi2com 1373	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> ( E. x ph -> E! x ph ) )
19	18, 5	sylibr 132	. 2 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E* x ph )
20	17, 19	impbii 124	1 |- ( E* x ph <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   [wsb 1685   E!weu 1941   E*wmo 1942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945

This theorem is referenced by:  mo3  1995  mo2dc  1996  mo4f  2001  moim  2005  moimv  2007  moanim  2015  mopick  2019