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Theorem mulreap 9751
Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulreap |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( B x. A ) e. RR ) )
Proof of Theorem mulreap
StepHypRef Expression
1 rereb 9750 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )
213ad2ant1 959 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )
3 recl 9740 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
43recnd 7147 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
543ad2ant1 959 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Re ` A ) e. CC )
6 simp1 938 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> A e. CC )
7 recn 7106 . . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
87anim1i 333 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
983adant1 956 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
10 mulcanap 7755 . . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ A e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` A ) = A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1169 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` A ) = A ) )
127adantr 270 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> B e. CC )
134adantl 271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
14 ax-icn 7071 . . . . . . . . . . . 12 |- _i e. CC
15 imcl 9741 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
1615recnd 7147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
17 mulcl 7100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1814, 16, 17sylancr 405 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1918adantl 271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2012, 13, 19adddid 7143 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
21 replim 9746 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2221adantl 271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2322oveq2d 5548 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) = ( B x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
24 mul12 7237 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1255 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
267, 16, 25syl2an 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2726oveq2d 5548 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2123 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) )
2928fveq2d 5202 . . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 7101 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR )
313, 30sylan2 280 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR )
32 remulcl 7101 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR )
3315, 32sylan2 280 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR )
34 crre 9744 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR /\ ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( B x. ( Re ` A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 403 . . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( B x. ( Re ` A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2114 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) = ( Re ` ( B x. A ) ) )
3736eqeq1d 2089 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
38 mulcl 7100 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) e. CC )
397, 38sylan 277 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) e. CC )
40 rereb 9750 . . . . . 6 |- ( ( B x. A ) e. CC -> ( ( B x. A ) e. RR <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. A ) e. RR <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
4237, 41bitr4d 189 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
4342ancoms 264 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
44433adant3 958 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
452, 11, 443bitr2d 214 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( B x. A ) e. RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   _ici 6983   + caddc 6984   x. cmul 6986   # cap 7681   Recre 9727   Imcim 9728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-2 8098  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731
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