Theorem nfunsn 5228

Description: If the restriction of a class to a singleton is not a function, its value is the empty set. (Contributed by NM, 8-Aug-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nfunsn	|- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Proof of Theorem nfunsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 1973	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> E* y A F y )
2		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 4636	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` { A } ) y <-> ( x F y /\ x e. { A } ) )
4		velsn 3415	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
5		breq1 3788	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
6	4, 5	sylbi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( x F y <-> A F y ) )
7	6	biimpac 292	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. { A } ) -> A F y )
8	3, 7	sylbi 119	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` { A } ) y -> A F y )
9	8	moimi 2006	. . . . . . 7 |- ( E* y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
11	10	alrimiv 1795	. . . . 5 |- ( E! y A F y -> A. x E* y x ( F |` { A } ) y )
12		relres 4657	. . . . 5 |- Rel ( F |` { A } )
13	11, 12	jctil 305	. . . 4 |- ( E! y A F y -> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
14		dffun6 4936	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
15	13, 14	sylibr 132	. . 3 |- ( E! y A F y -> Fun ( F |` { A } ) )
16	15	con3i 594	. 2 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> -. E! y A F y )
17		tz6.12-2 5189	. 2 |- ( -. E! y A F y -> ( F ` A ) = (/) )
18	16, 17	syl 14	1 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   E!weu 1941   E*wmo 1942   (/)c0 3251   {csn 3398   class class class wbr 3785   |` cres 4365   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-res 4375  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)