Theorem nnaddm1cl 8412

Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddm1cl	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nnaddm1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8047	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. CC )
2		nncn 8047	. . 3 |- ( B e. NN -> B e. CC )
3		ax-1cn 7069	. . . 4 |- 1 e. CC
4		addsub 7319	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an3 1257	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
6	1, 2, 5	syl2an 283	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) + B ) )
7		nnm1nn0 8329	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A - 1 ) e. NN0 )
8		nn0nnaddcl 8319	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + B ) e. NN )
9	7, 8	sylan 277	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + B ) e. NN )
10	6, 9	eqeltrd 2155	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A + B ) - 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   + caddc 6984   - cmin 7279   NNcn 8039   NN0cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-n0 8289

This theorem is referenced by: (None)