Theorem nnm1nn0 8329

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 8057	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 8108	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	syl6eq 2129	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 709	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 680	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 8290	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 132	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   - cmin 7279   NNcn 8039   NN0cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-n0 8289

This theorem is referenced by:  elnn0nn  8330  nnaddm1cl  8412  nn0n0n1ge2  8418  fseq1m1p1  9112  nn0ennn  9425  expm1t  9504  expgt1  9514  bcn1  9685  bcm1k  9687  bcn2m1  9696  resqrexlemnm  9904  resqrexlemcvg  9905  resqrexlemga  9909  iddvdsexp  10219  dvdsfac  10260  oexpneg  10276