Theorem nnaword 6107

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaword

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o A ) = ( C +o A ) )
2		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o B ) = ( C +o B ) )
3	1, 2	sseq12d 3028	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
4	3	bibi2d 230	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
5	4	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
6		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o A ) = ( (/) +o A ) )
7		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o B ) = ( (/) +o B ) )
8	6, 7	sseq12d 3028	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
9	8	bibi2d 230	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) ) )
10		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o A ) = ( y +o A ) )
11		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o B ) = ( y +o B ) )
12	10, 11	sseq12d 3028	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) )
13	12	bibi2d 230	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) ) )
14		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o A ) = ( suc y +o A ) )
15		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o B ) = ( suc y +o B ) )
16	14, 15	sseq12d 3028	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
17	16	bibi2d 230	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
18		nna0r 6080	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
19	18	eqcomd 2086	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> A = ( (/) +o A ) )
20	19	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A = ( (/) +o A ) )
21		nna0r 6080	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = B )
22	21	eqcomd 2086	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> B = ( (/) +o B ) )
23	22	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B = ( (/) +o B ) )
24	20, 23	sseq12d 3028	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
25		nnacl 6082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
26	25	3adant3 958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
27		nnacl 6082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
28	27	3adant2 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
29		nnsucsssuc 6094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o A ) e. om /\ ( y +o B ) e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
30	26, 28, 29	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
31		nnasuc 6078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
32		peano2 4336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> suc y e. om )
33		nnacom 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ suc y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
34	32, 33	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
35		nnacom 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
36		suceq 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
38	31, 34, 37	3eqtr3rd 2122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
39	38	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
40	39	3adant3 958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
41		nnasuc 6078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
42		nnacom 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ suc y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
43	32, 42	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
44		nnacom 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) = ( y +o B ) )
45		suceq 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B +o y ) = ( y +o B ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
47	41, 43, 46	3eqtr3rd 2122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
48	47	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
49	48	3adant2 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
50	40, 49	sseq12d 3028	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
51	30, 50	bitrd 186	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
52	51	bibi2d 230	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
53	52	biimpd 142	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
54	53	3expib 1141	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) ) )
55	9, 13, 17, 24, 54	finds2 4342	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) )
56	5, 55	vtoclga 2664	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
57	56	impcom 123	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58	57	3impa 1133	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   C_ wss 2973   (/)c0 3251   suc csuc 4120   omcom 4331  (class class class)co 5532   +o coa 6021

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028

This theorem is referenced by:  nnacan  6108  nnawordi  6111