Theorem nnsub 8077

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( z < x <-> z < 1 ) )
2		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( x - z ) = ( 1 - z ) )
3	2	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( 1 - z ) e. NN ) )
4	1, 3	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
5	4	ralbidv 2368	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
6		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( z < x <-> z < y ) )
7		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x - z ) = ( y - z ) )
8	7	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( y - z ) e. NN ) )
9	6, 8	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
10	9	ralbidv 2368	. . . 4 |- ( x = y -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
11		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( z < x <-> z < ( y + 1 ) ) )
12		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x - z ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
13	12	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
14	11, 13	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
15	14	ralbidv 2368	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
16		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( z < x <-> z < B ) )
17		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x - z ) = ( B - z ) )
18	17	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( B - z ) e. NN ) )
19	16, 18	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
20	19	ralbidv 2368	. . . 4 |- ( x = B -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
21		nnnlt1 8065	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. z < 1 )
22	21	pm2.21d 581	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) )
23	22	rgen 2416	. . . 4 |- A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN )
24		breq1 3788	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( z < y <-> x < y ) )
25		oveq2 5540	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( y - z ) = ( y - x ) )
26	25	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( y - z ) e. NN <-> ( y - x ) e. NN ) )
27	24, 26	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) ) )
28	27	cbvralv 2577	. . . . 5 |- ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) )
29		nncn 8047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
30	29	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. CC )
31		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
32		pncan 7314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
33	30, 31, 32	sylancl 404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
34		simpl 107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. NN )
35	33, 34	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN )
36		oveq2 5540	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) = ( ( y + 1 ) - 1 ) )
37	36	eleq1d 2147	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( ( ( y + 1 ) - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN ) )
38	35, 37	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
39	38	a1dd 47	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
40	39	a1dd 47	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
41		breq1 3788	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( x < y <-> ( z - 1 ) < y ) )
42		oveq2 5540	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( y - x ) = ( y - ( z - 1 ) ) )
43	42	eleq1d 2147	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( y - x ) e. NN <-> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) )
44	41, 43	imbi12d 232	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) <-> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
45	44	rspcv 2697	. . . . . . . 8 |- ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
46		nnre 8046	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. RR )
47		nnre 8046	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. RR )
48		1re 7118	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
49		ltsubadd 7536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
50	48, 49	mp3an2 1256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
51	46, 47, 50	syl2anr 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
52		nncn 8047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
53		subsub3 7340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
54	31, 53	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
55	29, 52, 54	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
56	55	eleq1d 2147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y - ( z - 1 ) ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
57	51, 56	imbi12d 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
58	57	biimpd 142	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
59	45, 58	syl9r 72	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
60		nn1m1nn 8057	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
61	60	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
62	40, 59, 61	mpjaod 670	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
63	62	ralrimdva 2441	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
64	28, 63	syl5bi 150	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 8055	. . 3 |- ( B e. NN -> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) )
66		breq1 3788	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z < B <-> A < B ) )
67		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( B - z ) = ( B - A ) )
68	67	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( B - z ) e. NN <-> ( B - A ) e. NN ) )
69	66, 68	imbi12d 232	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) <-> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) ) )
70	69	rspcva 2699	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
71	65, 70	sylan2 280	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
72		nngt0 8064	. . 3 |- ( ( B - A ) e. NN -> 0 < ( B - A ) )
73		nnre 8046	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
74		nnre 8046	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR )
75		posdif 7559	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
76	73, 74, 75	syl2an 283	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
77	72, 76	syl5ibr 154	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B - A ) e. NN -> A < B ) )
78	71, 77	impbid 127	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   - cmin 7279   NNcn 8039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040

This theorem is referenced by:  nnsubi  8078  uz3m2nn  8661