Theorem nnwetri 6382

Description: A natural number is well-ordered by _E. More specifically, this order both satisfies We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnwetri	|- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnwetri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4352	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		ordwe 4318	. . 3 |- ( Ord A -> _E We A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. om -> _E We A )
4		simprl 497	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
5		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A e. om )
6		elnn 4346	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
7	4, 5, 6	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. om )
8		simprr 498	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
9		elnn 4346	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ A e. om ) -> y e. om )
10	8, 5, 9	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. om )
11		nntri3or 6095	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
12		epel 4047	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
13		biid 169	. . . . . 6 |- ( x = y <-> x = y )
14		epel 4047	. . . . . 6 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	12, 13, 14	3orbi123i 1128	. . . . 5 |- ( ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
16	11, 15	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
17	7, 10, 16	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
18	17	ralrimivva 2443	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
19	3, 18	jca 300	1 |- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ w3o 918   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   _E cep 4042   We wwe 4085   Ord word 4117   omcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-frfor 4086  df-frind 4087  df-wetr 4089  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332

This theorem is referenced by: (None)