Theorem elnn 4346

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3020	. . 3 |- ( y = (/) -> ( y C_ om <-> (/) C_ om ) )
2		sseq1 3020	. . 3 |- ( y = x -> ( y C_ om <-> x C_ om ) )
3		sseq1 3020	. . 3 |- ( y = suc x -> ( y C_ om <-> suc x C_ om ) )
4		sseq1 3020	. . 3 |- ( y = B -> ( y C_ om <-> B C_ om ) )
5		0ss 3282	. . 3 |- (/) C_ om
6		unss 3146	. . . . . 6 |- ( ( x C_ om /\ { x } C_ om ) <-> ( x u. { x } ) C_ om )
7		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8	7	snss 3516	. . . . . . 7 |- ( x e. om <-> { x } C_ om )
9	8	anbi2i 444	. . . . . 6 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> ( x C_ om /\ { x } C_ om ) )
10		df-suc 4126	. . . . . . 7 |- suc x = ( x u. { x } )
11	10	sseq1i 3023	. . . . . 6 |- ( suc x C_ om <-> ( x u. { x } ) C_ om )
12	6, 9, 11	3bitr4i 210	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> suc x C_ om )
13	12	biimpi 118	. . . 4 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) -> suc x C_ om )
14	13	expcom 114	. . 3 |- ( x e. om -> ( x C_ om -> suc x C_ om ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4341	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
16		ssel2 2994	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
17	16	ancoms 264	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
18	15, 17	sylan2 280	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   u. cun 2971   C_ wss 2973   (/)c0 3251   {csn 3398   suc csuc 4120   omcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-suc 4126  df-iom 4332

This theorem is referenced by:  ordom  4347  peano2b  4355  nndifsnid  6103  nnaordi  6104  nnmordi  6112  fidceq  6354  nnwetri  6382