Theorem op2ndb 4824

Description: Extract the second member of an ordered pair. Theorem 5.12(ii) of [Monk1] p. 52. (See op1stb 4227 to extract the first member and op2nda 4825 for an alternate version.) (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndb	|- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Proof of Theorem op2ndb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsn.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
2		cnvsn.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
3	1, 2	cnvsn 4823	. . . . . 6 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
4	3	inteqi 3640	. . . . 5 |- |^| `' { <. A , B >. } = |^| { <. B , A >. }
5	2, 1	opex 3984	. . . . . 6 |- <. B , A >. e. _V
6	5	intsn 3671	. . . . 5 |- |^| { <. B , A >. } = <. B , A >.
7	4, 6	eqtri 2101	. . . 4 |- |^| `' { <. A , B >. } = <. B , A >.
8	7	inteqi 3640	. . 3 |- |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| <. B , A >.
9	8	inteqi 3640	. 2 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| |^| <. B , A >.
10	2, 1	op1stb 4227	. 2 |- |^| |^| <. B , A >. = B
11	9, 10	eqtri 2101	1 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   {csn 3398   <.cop 3401   |^|cint 3636   `'ccnv 4362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371

This theorem is referenced by:  2ndval2  5803