Theorem opabm 4035

Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opabm	|- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4013	. . 3 |- ( z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	exbii 1536	. 2 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
3		exrot3 1620	. 2 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
4		vex 2604	. . . . . 6 |- x e. _V
5		vex 2604	. . . . . 6 |- y e. _V
6	4, 5	opex 3984	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
7	6	isseti 2607	. . . 4 |- E. z z = <. x , y >.
8		19.41v 1823	. . . 4 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. z z = <. x , y >. /\ ph ) )
9	7, 8	mpbiran 881	. . 3 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
10	9	2exbii 1537	. 2 |- ( E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
11	2, 3, 10	3bitri 204	1 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   <.cop 3401   {copab 3838

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840

This theorem is referenced by: (None)