Theorem opabresid 4679

Description: The restricted identity expressed with the class builder. (Contributed by FL, 25-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
opabresid	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem opabresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab 4672	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) }
2		equcom 1633	. . . . 5 |- ( y = x <-> x = y )
3	2	opabbii 3845	. . . 4 |- { <. x , y >. | y = x } = { <. x , y >. | x = y }
4		df-id 4048	. . . 4 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
5	3, 4	eqtr4i 2104	. . 3 |- { <. x , y >. | y = x } = _I
6	5	reseq1i 4626	. 2 |- ( { <. x , y >. | y = x } |` A ) = ( _I |` A )
7	1, 6	eqtr3i 2103	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = x ) } = ( _I |` A )

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {copab 3838   _I cid 4043   |` cres 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-res 4375

This theorem is referenced by:  mptresid  4680