Theorem oprabex3 5776

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex3.1	|- H e. _V
oprabex3.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex3	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, f, H   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   R( w, v, u, f)   F( x, y, z, w, v, u, f)

Proof of Theorem oprabex3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex3.1	. . 3 |- H e. _V
2	1, 1	xpex 4471	. 2 |- ( H X. H ) e. _V
3		moeq 2767	. . . . . 6 |- E* z z = R
4	3	mosubop 4424	. . . . 5 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R )
5	4	mosubop 4424	. . . 4 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) )
6		anass 393	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
7	6	2exbii 1537	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
8		19.42vv 1829	. . . . . . 7 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
9	7, 8	bitri 182	. . . . . 6 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
10	9	2exbii 1537	. . . . 5 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
11	10	mobii 1978	. . . 4 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = R ) ) )
12	5, 11	mpbir 144	. . 3 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) )
14		oprabex3.2	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( H X. H ) /\ y e. ( H X. H ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = R ) ) }
15	2, 2, 13, 14	oprabex 5775	1 |- F e. _V

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E*wmo 1942   _Vcvv 2601   <.cop 3401   X. cxp 4361   {coprab 5533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-oprab 5536

This theorem is referenced by:  addvalex  7012