Theorem addvalex 7012

Description: Existence of a sum. This is dependent on how we define + so once we proceed to real number axioms we will replace it with theorems such as addcl 7098. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addvalex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Proof of Theorem addvalex

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5535	. 2 |- ( A + B ) = ( + ` <. A , B >. )
2		df-nr 6904	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 6663	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4471	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	qsex 6186	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
6	2, 5	eqeltri 2151	. . . 4 |- R. e. _V
7		df-add 6992	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
8		df-c 6987	. . . . . . . . 9 |- CC = ( R. X. R. )
9	8	eleq2i 2145	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
10	8	eleq2i 2145	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
11	9, 10	anbi12i 447	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
12	11	anbi1i 445	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
13	12	oprabbii 5580	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	7, 13	eqtri 2101	. . . 4 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
15	6, 14	oprabex3 5776	. . 3 |- + e. _V
16		opexg 3983	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
17		fvexg 5214	. . 3 |- ( ( + e. _V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
18	15, 16, 17	sylancr 405	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
19	1, 18	syl5eqel 2165	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   X. cxp 4361   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   {coprab 5533   /.cqs 6128   P.cnp 6481   ~R cer 6486   R.cnr 6487   +R cplr 6491   CCcc 6979   + caddc 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-qs 6135  df-ni 6494  df-nqqs 6538  df-inp 6656  df-nr 6904  df-c 6987  df-add 6992

This theorem is referenced by:  peano2nnnn  7021