Theorem prmdvdsfz 10520

Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfz	|- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) )

Distinct variable groups:   I, p   N, p

Proof of Theorem prmdvdsfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9041	. . . 4 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2	1	adantl 271	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		exprmfct 10519	. . 3 |- ( I e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || I )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime p || I )
5		prmz 10493	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
6		eluz2nn 8657	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( ZZ>= ` 2 ) -> I e. NN )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. NN )
8	7	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> I e. NN )
9		dvdsle 10244	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ I e. NN ) -> ( p || I -> p <_ I ) )
10	5, 8, 9	syl2anr 284	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> p <_ I ) )
11		elfzle2 9047	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I <_ N )
12	11	ad2antlr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> I <_ N )
13	5	zred 8469	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
14	13	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. RR )
15		elfzelz 9045	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. ZZ )
16	15	zred 8469	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. RR )
17	16	ad2antlr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> I e. RR )
18		nnre 8046	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
19	18	ad2antrr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> N e. RR )
20		letr 7194	. . . . . . 7 |- ( ( p e. RR /\ I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( p <_ I /\ I <_ N ) -> p <_ N ) )
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1169	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p <_ I /\ I <_ N ) -> p <_ N ) )
22	12, 21	mpan2d 418	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p <_ I -> p <_ N ) )
23	10, 22	syld 44	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> p <_ N ) )
24	23	ancrd 319	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> ( p <_ N /\ p || I ) ) )
25	24	reximdva 2463	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> ( E. p e. Prime p || I -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) ) )
26	4, 25	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   <_ cle 7154   NNcn 8039   2c2 8089   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029   || cdvds 10195   Primecprime 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-prm 10490

This theorem is referenced by: (None)