Theorem letr 7194

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltwlin 7180	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
2	1	3coml 1145	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
3		orcom 679	. . . 4 |- ( ( C < B \/ B < A ) <-> ( B < A \/ C < B ) )
4	2, 3	syl6ib 159	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C < A -> ( B < A \/ C < B ) ) )
5	4	con3d 593	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. ( B < A \/ C < B ) -> -. C < A ) )
6		lenlt 7187	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7	6	3adant3 958	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8		lenlt 7187	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
9	8	3adant1 956	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
10	7, 9	anbi12d 456	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) ) )
11		ioran 701	. . 3 |- ( -. ( B < A \/ C < B ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) )
12	10, 11	syl6bbr 196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> -. ( B < A \/ C < B ) ) )
13		lenlt 7187	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
14	13	3adant2 957	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
15	5, 12, 14	3imtr4d 201	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   RRcr 6980   < clt 7153   <_ cle 7154

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltwlin 7089

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159

This theorem is referenced by:  letri  7218  letrd  7233  le2add  7548  le2sub  7565  p1le  7927  lemul12b  7939  lemul12a  7940  zletr  8400  peano2uz2  8454  ledivge1le  8803  fznlem  9060  elfz1b  9107  elfz0fzfz0  9137  fz0fzelfz0  9138  fz0fzdiffz0  9141  elfzmlbp  9143  difelfznle  9146  ssfzo12bi  9234  flqge  9284  fldiv4p1lem1div2  9307  monoord  9455  leexp2r  9530  expubnd  9533  le2sq2  9551  facwordi  9667  faclbnd3  9670  facavg  9673  fimaxre2  10109  ialgcvga  10433  prmdvdsfz  10520  prmfac1  10531