Theorem prprc1 3500

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3457	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3119	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3405	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3116	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3278	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2102	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2138	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 119	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   u. cun 2971   (/)c0 3251   {csn 3398   {cpr 3399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405

This theorem is referenced by:  prprc2  3501  prprc  3502