Theorem pwprss 3597

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	|- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	elpr 3419	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
3	1	elpr 3419	. . . . 5 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
4	2, 3	orbi12i 713	. . . 4 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
5		ssprr 3548	. . . 4 |- ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) -> x C_ { A , B } )
6	4, 5	sylbi 119	. . 3 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) -> x C_ { A , B } )
7		elun 3113	. . 3 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
8	1	elpw 3388	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B } <-> x C_ { A , B } )
9	6, 7, 8	3imtr4i 199	. 2 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) -> x e. ~P { A , B } )
10	9	ssriv 3003	1 |- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Syntax hints:   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   C_ wss 2973   (/)c0 3251   ~Pcpw 3382   {csn 3398   {cpr 3399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3599  ord3ex  3961