Theorem qbtwnzlemstep 9257

Description: Lemma for qbtwnz 9260. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnzlemstep	|- ( ( K e. NN /\ A e. QQ /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Distinct variable groups:   A, m   m, K

Proof of Theorem qbtwnzlemstep

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. ZZ )
2		simpll 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) -> K e. NN )
3	2	ad2antrr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. NN )
4	3	nnzd 8468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. ZZ )
5	1, 4	zaddcld 8473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. ZZ )
6		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) <_ A )
7		qre 8710	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
8	7	ad4antlr 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A e. RR )
9	5	zred 8469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. RR )
10		1red 7134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. RR )
11	9, 10	readdcld 7148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) e. RR )
12	3	nnred 8052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. RR )
13	9, 12	readdcld 7148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + K ) e. RR )
14		simplrr 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( m + ( K + 1 ) ) )
15	1	zcnd 8470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. CC )
16	3	nncnd 8053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. CC )
17		1cnd 7135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. CC )
18	15, 16, 17	addassd 7141	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) = ( m + ( K + 1 ) ) )
19	14, 18	breqtrrd 3811	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + 1 ) )
20	3	nnge1d 8081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 <_ K )
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 7660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) <_ ( ( m + K ) + K ) )
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 7527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + K ) )
23		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( j <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
24		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + K ) -> ( j + K ) = ( ( m + K ) + K ) )
25	24	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( ( m + K ) + K ) ) )
26	23, 25	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( j = ( m + K ) -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) )
27	26	rspcev 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. ZZ /\ ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
29		simpllr 500	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m e. ZZ )
30		simplrl 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m <_ A )
31		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> A < ( m + K ) )
32		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j <_ A <-> m <_ A ) )
33		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j + K ) = ( m + K ) )
34	33	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( m + K ) ) )
35	32, 34	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) )
36	35	rspcev 2701	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
38		zq 8711	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m e. QQ )
39	38	ad2antlr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> m e. QQ )
40		nnq 8718	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. QQ )
41	40	ad3antrrr 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. QQ )
42		qaddcl 8720	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. QQ /\ K e. QQ ) -> ( m + K ) e. QQ )
43	39, 41, 42	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( m + K ) e. QQ )
44		simpllr 500	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> A e. QQ )
45		qlelttric 9254	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
47	28, 37, 46	mpjaodan 744	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
48	47	ex 113	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
49	48	rexlimdva 2477	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
50	49	3impia 1135	. 2 |- ( ( K e. NN /\ A e. QQ /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
51		breq1 3788	. . . 4 |- ( m = j -> ( m <_ A <-> j <_ A ) )
52		oveq1 5539	. . . . 5 |- ( m = j -> ( m + K ) = ( j + K ) )
53	52	breq2d 3797	. . . 4 |- ( m = j -> ( A < ( m + K ) <-> A < ( j + K ) ) )
54	51, 53	anbi12d 456	. . 3 |- ( m = j -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
55	54	cbvrexv 2578	. 2 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
56	50, 55	sylibr 132	1 |- ( ( K e. NN /\ A e. QQ /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   NNcn 8039   ZZcz 8351   QQcq 8704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735

This theorem is referenced by:  qbtwnzlemshrink  9258