Theorem zq 8711

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8356	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
2	1	div1d 7868	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
3	2	eqeq2d 2092	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
4		eqcom 2083	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
5	3, 4	syl6rbbr 197	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8050	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5540	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2092	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2701	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 414	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 161	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2456	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2394	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 8707	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 199	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349  (class class class)co 5532   1c1 6982   / cdiv 7760   NNcn 8039   ZZcz 8351   QQcq 8704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-z 8352  df-q 8705

This theorem is referenced by:  zssq  8712  qdivcl  8728  irrmul  8732  qbtwnzlemstep  9257  qbtwnxr  9266  flqlt  9285  flid  9286  flqltnz  9289  flqbi2  9293  flqaddz  9299  flqmulnn0  9301  ceilid  9317  flqeqceilz  9320  flqdiv  9323  modqcl  9328  mulqmod0  9332  modqfrac  9339  zmod10  9342  modqmulnn  9344  zmodcl  9346  zmodfz  9348  zmodid2  9354  q0mod  9357  q1mod  9358  modqcyc  9361  mulp1mod1  9367  modqmuladd  9368  modqmuladdim  9369  modqmuladdnn0  9370  m1modnnsub1  9372  addmodid  9374  modqm1p1mod0  9377  modqltm1p1mod  9378  modqmul1  9379  modqmul12d  9380  q2txmodxeq0  9386  modifeq2int  9388  modaddmodup  9389  modaddmodlo  9390  modqaddmulmod  9393  modqdi  9394  modqsubdir  9395  modsumfzodifsn  9398  addmodlteq  9400  qexpcl  9492  qexpclz  9497  iexpcyc  9579  facavg  9673  bcval  9676  qabsor  9961  dvdsval3  10199  moddvds  10204  absdvdsb  10213  dvdsabsb  10214  dvdslelemd  10243  dvdsmod  10262  mulmoddvds  10263  divalglemnn  10318  divalgmod  10327  fldivndvdslt  10335  gcdabs  10379  gcdabs1  10380  modgcd  10382  bezoutlemnewy  10385  bezoutlemstep  10386  eucalglt  10439  lcmabs  10458  sqrt2irraplemnn  10557