Theorem rdgivallem 5991

Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 5992 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rdgivallem	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, V

Proof of Theorem rdgivallem

Dummy variables g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 5980	. . . 4 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
2		rdgruledefgg 5985	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
3	2	alrimiv 1795	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` y ) e. _V ) )
4	1, 3	tfri2d 5973	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
5	4	3impa 1133	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) )
6		eqidd 2082	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
7		dmeq 4553	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> dom g = dom ( rec ( F , A ) |` B ) )
8		onss 4237	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> B C_ On )
9	8	3ad2ant3 961	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ On )
10		rdgifnon 5989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> rec ( F , A ) Fn On )
11		fndm 5018	. . . . . . . . . 10 |- ( rec ( F , A ) Fn On -> dom rec ( F , A ) = On )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V ) -> dom rec ( F , A ) = On )
13	12	3adant3 958	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom rec ( F , A ) = On )
14	9, 13	sseqtr4d 3036	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> B C_ dom rec ( F , A ) )
15		ssdmres 4651	. . . . . . 7 |- ( B C_ dom rec ( F , A ) <-> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
16	14, 15	sylib 120	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> dom ( rec ( F , A ) |` B ) = B )
17	7, 16	sylan9eqr 2135	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> dom g = B )
18		fveq1 5197	. . . . . . 7 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( g ` x ) = ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) )
19	18	fveq2d 5202	. . . . . 6 |- ( g = ( rec ( F , A ) |` B ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
20	19	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( F ` ( g ` x ) ) = ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
21	17, 20	iuneq12d 3702	. . . 4 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) = U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3126	. . 3 |- ( ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) /\ g = ( rec ( F , A ) |` B ) ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
23		rdgfun 5983	. . . . 5 |- Fun rec ( F , A )
24		resfunexg 5403	. . . . 5 |- ( ( Fun rec ( F , A ) /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
25	23, 24	mpan 414	. . . 4 |- ( B e. On -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
26	25	3ad2ant3 961	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V )
27		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> B e. On )
28		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		fvexg 5214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
30	25, 28, 29	sylancl 404	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
31	30	ralrimivw 2435	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
32	31	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V )
33		funfvex 5212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. dom F ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
34	33	funfni 5019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn _V /\ ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V ) -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
35	34	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn _V -> ( ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
36	35	ralimdv 2430	. . . . . . . 8 |- ( F Fn _V -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
37	36	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> ( A. x e. B ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) e. _V -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) )
38	32, 37	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
39		iunexg 5766	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A. x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
40	27, 38, 39	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( F Fn _V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
41	40	3adant2 957	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V )
42		unexg 4196	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
43	42	ex 113	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
44	43	3ad2ant2 960	. . . 4 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) e. _V -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V ) )
45	41, 44	mpd 13	. . 3 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) e. _V )
46	6, 22, 26, 45	fvmptd 5274	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( rec ( F , A ) |` B ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
47	5, 46	eqtrd 2113	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   _Vcvv 2601   u. cun 2971   C_ wss 2973   U_ciun 3678   |-> cmpt 3839   Oncon0 4118   dom cdm 4363   |` cres 4365   Fun wfun 4916   Fn wfn 4917   ` cfv 4922   reccrdg 5979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-recs 5943  df-irdg 5980

This theorem is referenced by:  rdgival  5992  rdgon  5996