Theorem funfvex 5212

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 4930	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota y A F y )
2		funfveu 5208	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )
3		euiotaex 4903	. . 3 |- ( E! y A F y -> ( iota y A F y ) e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( iota y A F y ) e. _V )
5	1, 4	syl5eqel 2165	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   E!weu 1941   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   iotacio 4885   Fun wfun 4916   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5235  fvelrnb  5242  funimass4  5245  fvelimab  5250  fniinfv  5252  funfvdm  5257  dmfco  5262  fvco2  5263  eqfnfv  5286  fndmdif  5293  fndmin  5295  fvimacnvi  5302  fvimacnv  5303  funconstss  5306  fniniseg  5308  fniniseg2  5310  fnniniseg2  5311  rexsupp  5312  fvelrn  5319  rexrn  5325  ralrn  5326  dff3im  5333  fmptco  5351  fsn2  5358  fnressn  5370  resfunexg  5403  eufnfv  5410  funfvima3  5413  rexima  5415  ralima  5416  fniunfv  5422  elunirn  5426  dff13  5428  foeqcnvco  5450  f1eqcocnv  5451  isocnv2  5472  isoini  5477  f1oiso  5485  fnovex  5558  suppssof1  5748  offveqb  5750  1stexg  5814  2ndexg  5815  smoiso  5940  rdgtfr  5984  rdgruledefgg  5985  rdgivallem  5991  frectfr  6008  frecrdg  6015  freccl  6016  en1  6302  fundmen  6309  fnfi  6388  ordiso2  6446  climshft2  10145