Theorem smoeq 5928

Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoeq	|- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Proof of Theorem smoeq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( A = B -> A = B )
2		dmeq 4553	. . . 4 |- ( A = B -> dom A = dom B )
3	1, 2	feq12d 5056	. . 3 |- ( A = B -> ( A : dom A --> On <-> B : dom B --> On ) )
4		ordeq 4127	. . . 4 |- ( dom A = dom B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
5	2, 4	syl 14	. . 3 |- ( A = B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
6		fveq1 5197	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` x ) = ( B ` x ) )
7		fveq1 5197	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` y ) = ( B ` y ) )
8	6, 7	eleq12d 2149	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A ` x ) e. ( A ` y ) <-> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) )
9	8	imbi2d 228	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
10	9	2ralbidv 2390	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
11	2	raleqdv 2555	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2368	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
13	2	raleqdv 2555	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
14	10, 12, 13	3bitrd 212	. . 3 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
15	3, 5, 14	3anbi123d 1243	. 2 |- ( A = B -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) ) )
16		df-smo 5924	. 2 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
17		df-smo 5924	. 2 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 221	1 |- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   Ord word 4117   Oncon0 4118   dom cdm 4363   -->wf 4918   ` cfv 4922   Smo wsmo 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-iord 4121  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-smo 5924

This theorem is referenced by:  smores3  5931  smo0  5936