Theorem sucprc 4167

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4126	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3457	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3120	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 119	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	syl5eq 2125	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3278	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	syl6eq 2129	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   u. cun 2971   (/)c0 3251   {csn 3398   suc csuc 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-nul 3252  df-sn 3404  df-suc 4126

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4292  sucon  4296