Theorem supeq123d 6404

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supeq123d.a	|- ( ph -> A = D )
supeq123d.b	|- ( ph -> B = E )
supeq123d.c	|- ( ph -> C = F )

Assertion

Ref	Expression
supeq123d	|- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Proof of Theorem supeq123d

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq123d.b	. . . 4 |- ( ph -> B = E )
2		supeq123d.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A = D )
3		supeq123d.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C = F )
4	3	breqd 3796	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x C y <-> x F y ) )
5	4	notbid 624	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x C y <-> -. x F y ) )
6	2, 5	raleqbidv 2561	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A -. x C y <-> A. y e. D -. x F y ) )
7	3	breqd 3796	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y C x <-> y F x ) )
8	3	breqd 3796	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y C z <-> y F z ) )
9	2, 8	rexeqbidv 2562	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. A y C z <-> E. z e. D y F z ) )
10	7, 9	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
11	1, 10	raleqbidv 2561	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) <-> A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) )
12	6, 11	anbi12d 456	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) <-> ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) ) )
13	1, 12	rabeqbidv 2596	. . 3 |- ( ph -> { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
14	13	unieqd 3612	. 2 |- ( ph -> U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) } = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) } )
15		df-sup 6397	. 2 |- sup ( A , B , C ) = U. { x e. B | ( A. y e. A -. x C y /\ A. y e. B ( y C x -> E. z e. A y C z ) ) }
16		df-sup 6397	. 2 |- sup ( D , E , F ) = U. { x e. E | ( A. y e. D -. x F y /\ A. y e. E ( y F x -> E. z e. D y F z ) ) }
17	14, 15, 16	3eqtr4g 2138	1 |- ( ph -> sup ( A , B , C ) = sup ( D , E , F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   A.wral 2348   E.wrex 2349   {crab 2352   U.cuni 3601   class class class wbr 3785   supcsup 6395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-uni 3602  df-br 3786  df-sup 6397

This theorem is referenced by:  infeq123d  6429