Theorem suprubex 8029

Description: A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprubex.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprubex	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem suprubex

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		suprubex.b	. . 3 |- ( ph -> B e. A )
3	1, 2	sseldd 3000	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
4		lttri3 7191	. . . 4 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
5	4	adantl 271	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
6		suprubex.ex	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
7	5, 6	supclti 6411	. 2 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
8	5, 6	supubti 6412	. . 3 |- ( ph -> ( B e. A -> -. sup ( A , RR , < ) < B ) )
9	2, 8	mpd 13	. 2 |- ( ph -> -. sup ( A , RR , < ) < B )
10	3, 7, 9	nltled 7230	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   supcsup 6395   RRcr 6980   < clt 7153   <_ cle 7154

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-apti 7091

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-riota 5488  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159

This theorem is referenced by:  suprzclex  8445