Theorem uzenom 9418

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzenom	|- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
2		eqid 2081	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
3	1, 2	frec2uzf1od 9408	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) )
4		omex 4334	. . . . 5 |- om e. _V
5	4	f1oen 6262	. . . 4 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` M ) -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( M e. ZZ -> om ~~ ( ZZ>= ` M ) )
7		uzinf.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8	6, 7	syl6breqr 3825	. 2 |- ( M e. ZZ -> om ~~ Z )
9	8	ensymd 6286	1 |- ( M e. ZZ -> Z ~~ om )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   |-> cmpt 3839   omcom 4331   -1-1-onto->wf1o 4921   ` cfv 4922  (class class class)co 5532  freccfrec 6000   ~~ cen 6242   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-recs 5943  df-frec 6001  df-er 6129  df-en 6245  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by: (None)