Theorem xpiindim 4491

Description: Distributive law for cross product over indexed intersection. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpiindim	|- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, C, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem xpiindim

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4465	. . . . . 6 |- Rel ( C X. B )
2	1	rgenw 2418	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( C X. B )
3		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	3	cbvexv 1836	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
5		r19.2m 3329	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A Rel ( C X. B ) ) -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
6	4, 5	sylanbr 279	. . . . 5 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A Rel ( C X. B ) ) -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
7	2, 6	mpan2 415	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
8		reliin 4477	. . . 4 |- ( E. x e. A Rel ( C X. B ) -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( E. y y e. A -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
10		relxp 4465	. . 3 |- Rel ( C X. |^|_ x e. A B )
11	9, 10	jctil 305	. 2 |- ( E. y y e. A -> ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
12		r19.28mv 3334	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
13	4, 12	sylbir 133	. . . . . 6 |- ( E. y y e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
14	13	bicomd 139	. . . . 5 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) ) )
15		vex 2604	. . . . . . 7 |- z e. _V
16		eliin 3683	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B ) )
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B )
18	17	anbi2i 444	. . . . 5 |- ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) )
19		opelxp 4392	. . . . . 6 |- ( <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> ( w e. C /\ z e. B ) )
20	19	ralbii 2372	. . . . 5 |- ( A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) )
21	14, 18, 20	3bitr4g 221	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
22		opelxp 4392	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) )
23		vex 2604	. . . . . 6 |- w e. _V
24	23, 15	opex 3984	. . . . 5 |- <. w , z >. e. _V
25		eliin 3683	. . . . 5 |- ( <. w , z >. e. _V -> ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
26	24, 25	ax-mp 7	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) )
27	21, 22, 26	3bitr4g 221	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
28	27	eqrelrdv2 4457	. 2 |- ( ( ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) /\ E. y y e. A ) -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )
29	11, 28	mpancom 413	1 |- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   <.cop 3401   |^|_ciin 3679   X. cxp 4361   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-iin 3681  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370

This theorem is referenced by:  xpriindim  4492