Theorem ixxex 8922

Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxex	|- O e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 8910	. . . 4 |- RR* e. _V
2	1, 1	xpex 4471	. . 3 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
3	1	pwex 3953	. . 3 |- ~P RR* e. _V
4	2, 3	xpex 4471	. 2 |- ( ( RR* X. RR* ) X. ~P RR* ) e. _V
5		ixx.1	. . . 4 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
6	5	ixxf 8921	. . 3 |- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
7		fssxp 5078	. . 3 |- ( O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* -> O C_ ( ( RR* X. RR* ) X. ~P RR* ) )
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 |- O C_ ( ( RR* X. RR* ) X. ~P RR* )
9	4, 8	ssexi 3916	1 |- O e. _V

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {crab 2352   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   ~Pcpw 3382   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   -->wf 4918   |-> cmpt2 5534   RR*cxr 7152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157

This theorem is referenced by:  iooex  8930