Theorem zaddcllempos 8388

Description: Lemma for zaddcl 8391. Special case in which N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5540	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( M + x ) = ( M + 1 ) )
2	1	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + 1 ) e. ZZ ) )
3	2	imbi2d 228	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ ) ) )
4		oveq2 5540	. . . . 5 |- ( x = y -> ( M + x ) = ( M + y ) )
5	4	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + y ) e. ZZ ) )
6	5	imbi2d 228	. . 3 |- ( x = y -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) ) )
7		oveq2 5540	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + x ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
9	8	imbi2d 228	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
10		oveq2 5540	. . . . 5 |- ( x = N -> ( M + x ) = ( M + N ) )
11	10	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + N ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 228	. . 3 |- ( x = N -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) ) )
13		peano2z 8387	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		peano2z 8387	. . . . . 6 |- ( ( M + y ) e. ZZ -> ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ )
15		zcn 8356	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
16	15	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> M e. CC )
17		nncn 8047	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
18	17	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> y e. CC )
19		1cnd 7135	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
20	16, 18, 19	addassd 7141	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) + 1 ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
22	14, 21	syl5ib 152	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
23	22	ex 113	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( M e. ZZ -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 8055	. 2 |- ( N e. NN -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
26	25	impcom 123	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   + caddc 6984   NNcn 8039   ZZcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  zaddcl  8391